Question

【题目】对任意正整数，若存在数列，满足，其中，则称数列为正整数的生成数列，记为.

（1）写出2018的生成数列；

（2）求证：对任意正整数，存在唯一的生成数列；

（3）求生成数列的所有项的和.

Answer 1

【答案】（1）数列为；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据得到答案.

（2）只需证明两个不同的项生成数列表示的正整数不同，类推可得的充要条件是生成数列和相同，得到证明

（3）根据得到通项

，计算得到答案.

（1），

所以数列为；

（2）对于恰有项的生成数列，其表示的正整数最小值为，

表示的正整数最大值为

即项的不同生成数列共有

而满足的正整数恰好有个

下面只需证明两个不同的项生成数列表示的正整数不同，

设生成数列和表示的数为A和B，若，

即，同理，若有，也可得.

依次类推可得的充要条件是生成数列和相同.

综上可得，对任意正整数，存在唯一的生成数列 .

（3）因为

所以

即的通项为

故所有项的和为.