Question

【题目】已知函数的极大值为16，极小值为－16.

（1）求和的值；

（2）若过点可作三条不同的直线与曲线相切，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），； （2）.

【解析】

（1）求出导函数，确定极大值和极小值，由题意可求得；

（2）设切点，切线方程为，即，由切线过点，得，

从而此方程有3个实数根，问题转化为函数有3个零点，再由导数研究的极大值和极小值可得出结论．

（1）函数，

.

可得：函数在，上单调递增，在上单调递减.

∴时函数取得极大值16，时函数取得极小值－16.

∴，，

联立解得：，，

（2）由（1）可知，设切点，

则切线方程为，即，

因为切线过点，所以，

由于有3条切线，所以方程有3个实数根，

设，则只要使有3个零点，

令，解得或，

当，时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以时，取极大值，时，取极小值，

所以要是曲线与轴有3个交点，当且仅当，即，

解得，即实数的取值范围为.