Question

【题目】已知，.

（1）当时，求证：；

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见证明；（2）

【解析】

(1) 设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），通过两次求导，判断F（x）的单调性，即可得证；(2) 由题意可得存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，两次求导，判断单调性，对a讨论，分①当a≥时，②当a＜时，通过构造函数和求导，得到单调区间，可得最值，即可得到所求a的范围．

(1)设，

F″（x）=4e2x﹣﹣2=[e2x-]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），

所以，F′（x）在[0，+∞）上递增，所以F′（x）≥F′（0）=0，

所以，F（x）在[0，+∞）上递增，所以F（x）≥F（0）=0，

即有当x≥0时，f（x）≥（x+1）2+x；

（2）即，

则，

在上递增，

①当时，,在上为单调递增函数，

故，

②当时，

设,

,

在上为单调递增函数，

，

，

则当时，恒成立，不合题意

综上，则