Question

已知抛物线y2＝2px(q＞0)，过动点M(a，0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，｜AB｜≤2p． (1) 求a的取值范围 (2) 若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt△NAB的面积的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：直线l的方程为y＝x－a，代入y2＝2px，得x2－2(a＋p)x＋a2＝0． 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　则 　　又y1＝x1－a，y2＝x2－a， 　　∴｜AB｜＝ 　　　　　　＝ 　　∵0＜｜AB｜≤2p，∴0＜8p(p＋2a)≤4p2， 　　∴－＜a≤－． 　　分析：研究直线和圆锥曲线的关系，通常利用韦达定理得出两根和、两根积与系数的关系，而不是个别求解．需要注意首先要判别方程的根的情况． 　　点评：直线被圆锥曲线截得的线段长可用弦长公式·表示，其中k为直线的斜率，△为关于x的方程的根的判别式，a为关于x的二次方程的二次项的系数；
(2)	设AB的垂直平分线交AB于点Q，令其坐标为(x3，y3)，则 　　x3＝＝a＋p，y3＝＝p． 　　∴｜QM｜2＝(a＋p－a)2＋(p－0)2＝2p2． 　　又△MNQ为等腰直角三角形， 　　∴｜QN｜＝｜QM｜＝p， 　　∴S△NAB＝｜AB｜·｜QN｜＝p·｜AB｜≤p2，其中当且仅当｜AB｜＝2p时等号成立， 　　即△NAB的面积最大值为p2． 　　点评：求最值时，一般情况下应说明等号成立的条件．