Question

如图，一个粒子在第一象限及坐标轴上运动，在第一秒内它从原点运动到（0，1），然后它接着按图示在x轴、y轴的平行方向来回运动，且每秒移动一个单位长度，求2006秒时，这个粒子所处的位置．

Answer 1

解：设粒子运动到A₁，A₂，…，A_n时所用的间分别为a₁，a₂，…，a_n，则a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，a_n-a_n-1=2n，将a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，a₄-a₃=2×4，…，a_n-a_n-1=2n相加得：a_n-a₁=2（2+3+4+…+n）=n²+n-2，∴a_n=n（n+1）．44×45=1980，故运动了1980秒时它到点A₄₄（44，44）；又由运动规律知：A₁，，A₂，…，A_n中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．故达到A₄₄（44，44）时向左运动26秒到达点（18，44），即运动了2006秒．所求点应为（18，44）．
分析：分析粒子在第一象限的运动规律得到数列{a_n}通项的递推关系式a_n-a_n-1=2n是本题的突破口，对运动规律的探索知：A₁，A₂，…，A_n中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．
点评：本题考查数列的应用，解题时要认真审题，仔细观察，细心总结规律．