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    如图2,已知任意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?

    图2

    活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a、b变化过程中,A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.

    图3

    解:如图3,分别作向量、、,过点A、C作直线AC.观察发现,不论向量a、b怎样变化,点B始终在直线AC上,猜想A、B、C三点共线.

    事实上,因为=-=a+2b-(a+b)=b,

    而=-=a+3b-(a+b)=2b,

    于是=2.

    所以A、B、C三点共线.

    点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必须先证明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的独特新颖.

    练习册系列答案
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    下列四个命题中，真命题的序号有
    ①③④
    ①③④
    （写出所有真命题的序号）．
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    ②圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=
    1
    2
    x相交，所得弦长为2．
    ③若sin（α+β）=
    1
    2
    ，sin（α-β）=
    1
    3
    ，则tanαcotβ=5．
    ④如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分．

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    （2）已知α∈(0，
    π
    2
    )，β∈(
    π
    2
    ，π)    ，且cosβ=-
    1
    3
    ，sin(α+β)=
    7
    9
    ，求2cos2α+cos2α的值．

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    x2
    4
    +y2=1    ，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．
    （1）设P是椭圆C上任意一点，若
    OP
    =m
    OA
    +n
    OB
    ，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
    （2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．

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