Question

（2013•牡丹江一模）对于函数f（x）=

3

2

sin2x+sin2x(x∈R)，有以下几种说法：
（1）（

π

12

，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；
（2）函数f（x）的最小正周期是2π；
（3）函数f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上单调递增．
（4）y=f（x）的一条对称轴x=

π

3

．其中说法正确的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：先将函数化为一个角的一种三角函数，再根据函数的性质判断．
（1）代入法求得对称中心验证（1）是否正确；
根据正弦函数的最小正周期判断（2）是否正确；
根据正弦函数的单调递增区间，利用代入解不等式求得函数的单调区间判断（3）是否正确；
根据正弦函数的对称轴，判断x=

π

3

是否为对称轴，判断（4）是否正确．

解答：解：f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

-

1

2

cos2x=

10

2

（sin2x×

3 10

10

-cos2x×

10

10

）+

1

2

=sin（2x-θ）+

1

2

．（tanθ=

1

3

，0＜θ＜

π

2

）．
（1）函数的对称中心是（

kπ

2

+

θ

2

，0），∵tan

π

12

=2-

3

，∴（1）错误；
（2）∵函数的最小正周期是π，∴（2）错误；
（3）∵tanθ=

1

3

＜

3

3

=tan

π

6

，∴0＜θ＜

π

6

，-

π

4

+

θ

2

＜x＜

π

4

+

θ

2

＜

π

3

，∴在[

π

4

+

θ

2

，

π

3

]上递减，∴（3）错误；
（4）x=

π

3

，2x+θ=

2π

3

+θ≠kπ+

π

2

，k∈Z．∴（4）错误．
故选A

点评：本题借助考查命题的真假判断，考查两角和与差的正弦函数及特称角的三角函数．