Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，且右准线方程为x=5．
（1）求椭圆方程；
（2）过椭圆右焦点F作斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为椭圆上一动点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，且右准线方程为x=5，构造方程组，从而求得椭圆C的标准方程．
（2）设直线l的方程与椭圆C联立，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用弦长公式求出AB，P到AB的距离，然后求解三角形的面积，求出最大值即可．

解答 解：（1）$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，\frac{a^2}{c}=5∴a=\sqrt{5}，c=1$，从而b²=4所以椭圆方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$
（2）右焦点F（1，0），则直线l：y=x-1与椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$联立得：9x²-10x-15=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则弦$|AB|=\sqrt{2}|{x_1}-{x_2}|=\frac{{16\sqrt{5}}}{9}$，
设$P（\sqrt{5}cosθ，2sinθ）$到直线$d=\frac{{|\sqrt{5}cosθ-2sinθ-1|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{|3cos（θ+φ）-1|}{{\sqrt{2}}}max=\frac{4}{{\sqrt{2}}}$，
∴${S_{△PAB}}max=\frac{1}{2}|AB|{d_{max}}=\frac{1}{2}•\frac{{16\sqrt{5}}}{9}•\frac{4}{{\sqrt{2}}}=\frac{{16\sqrt{10}}}{9}$．

点评 本题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题．