Question

已知△ABC中，BC边上的中线AO长为2，若动点P满足

BP

=

1

2

cos2θ 

BC

+sin2θ 

BA

（θ∈R），则（

PB

+

PC

）•

PA

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由题意可得点P在AO上，

PB

+

PC

=2

PO

，故有（

PB

+

PC

）•

PA

=2

PO

•

PA

=-2|

PO

|•|

PA

|．根据|

PO

|+|

PA

|=|AO|=2，利用基本不等式可得|

PO

|•|

PA

|的最大值，可得要求式子的最小值．

解答： 解：由题意可得

BC

=2

BO

，∵点P满足

BP

=

1

2

cos2θ 

BC

+sin2θ 

BA

（θ∈R），
∴

BP

= cos2θ 

BO

+sin2θ 

BA

．
又sin²θ+cos²θ=1，所以P、A、O三点共线，即点P在AO上．
∵

PB

+

PC

=2

PO

，∴（

PB

+

PC

）•

PA

=2

PO

•

PA

=-2|

PO

|•|

PA

|．
∴|

PO

|+|

PA

|=|AO|=2，利用基本不等式可得|

PO

|•|

PA

|≤(

| PO |+| PA |

2

)2=1，
∴-2|

PO

|•|

PA

|≥-2，当且仅当|PO|=|PA|时，等号成立，
故（

PB

+

PC

）•

PA

的最小值为-2，
故答案为：-2．

点评：本题考查向量的数量积的运算和基本不等式的应用，由题意得出P、M、C三点共线是解决问题的关键，属中档题．