Question

如图所示，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，

OP⊥底面ABC.

（1）若k=1，试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小；

（2）当k取何值时，二面角O—PC—B的大小为？

Answer 1

(1) 异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为. (2) k=时,二面角O—PC—B的大小为

解析:

  ∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC，

从而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，

以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O—xyz.

（1）设AB=a，则PA=a，PO=a，

A（a，0，0），B（0，a，0），

C（-a，0，0），P（0，0，a），

则D（-a，0，a）.

∵=(a，0，-a )，=(-a，-a，a)，

∴cos〈,〉===-,

则异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为.

（2）设AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC，

∴=(0，a，0)为平面POC的一个法向量.

不妨设平面PBC的一个法向量为n=（x，y，z），

∵A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(-a，0，0)，P(0，0，h)，

∴=(-a,- a,0),=(- a,0,-h),

由

不妨令x=1，则y=-1，z=-，

即n=(1,-1,- ),则cos=

==2+=4h=a,

∴PA===a,

而AB=kPA,∴k=.

故当k=时,二面角O—PC—B的大小为.