Question

（本小题满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为AB的中点．(Ⅰ)求证：(Ⅱ)求异面直线BD₁与CE所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B到平面的距离.

Answer 1

(Ⅰ)  见解析  (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

法一：（1）连接BD，由已知有   

  得…………1分

又由ABCD是正方形，得：……2分      ∵与相交，∴……3分

（2）延长DC至G，使CG=EB，,连结BG、D₁G ，∵CG∥EB ，∴四边形EBGC是平行四边形.                                 

∴BG∥EC.   ∴就是异面直线BD₁与CE所成角…………………………5分

在中，    …………………6分

 

异面直线 与CE所成角的余弦值是 ………8分

（3）∵    ∴   又∵     ∴ 点E到的距离，有：    ，…………11分

 又由  ，  设点B到平面的距离为，

则 ， 有，， 所以点B到平面的距离为…14分

解法二：（1）见解法一…3分

（2）以D为原点，DA、DC、为轴建立空间直角坐标系，则有B（2，2，0）、（0，0，2）、E（2，1，0）、C（0，2，0）、（2，0，2）∴（-2，-2，2），（2，-1，0）………5分

……7分即余弦值是   8分

（3）设平面的法向量为， 有：，，…8分

由：（0，1，-2），（2，-1，0）………9分

可得：，令，得  ………11分

由（0，1，0）有：点B到平面的距离为…14分