Question

设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且∠AOP=β，β∈（0，

π

2

），∠AOQ=α，α∈[0，π）．
（1）若点Q的坐标是 （m，

4

5

），其中m＜0，求cos（π-α）+sin（-α）的值．
（2）设P（

3

2

，

1

2

），函数f（α）=sin（α+β），求f（α）的值域．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用Q（m，

4

5

）在单位圆上，其中m＜0，求出m的值，利用诱导公式化简cos（π-α）+sin（-α），然后利用三角函数的定义求解．
（2）利用P（

3

2

，

1

2

），求出β的值，利用角的范围求出相位的范围，即可通过正弦函数的值域求解函数f（α）=sin（α+β）的值域．

解答： 解：（1）由

m2+( 4 5 )2=1 m＜0

，解得m=-

3

5

∴m=cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

．…..3分
所以cos（π-α）+sin（-α）=-cosα-sinα=-

1

5

．…..6分
（2）由已知P（

3

2

，

1

2

），∠AOP=β，β∈（0，

π

2

），可得β=

π

6

，…..8分
因为α∈[0，π），则α+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

)，所以-

1

2

＜sin（α+

π

6

）≤1．
故f（α）的值域(-

1

2

，1]．…..12分．

点评：本题考查三角函数的定义，正弦函数的值域，三角函数的性质以及诱导公式的应用，是中档题．