Question

一批灯泡的使用时间ξ(单位:小时)服从正态分布N(10 000,4002).

(1)求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的灯泡的概率;

(2)现从这批灯泡中随机抽取100个,求这100个灯泡中“使用时间超过10 800小时”的灯泡个数的期望.(下列数据供计算时选用:Φ(0.5)=0.691 5,Φ(1)=0.841 3,Φ(2)=0.977 2)

分析：本题考查正态分布与标准正态分布的转化及二项分布的数学期望.

Answer 1

解：(1)由已知μ=10 000,σ=400,设η&N(0,1),

则P(ξ＞10 800)=P(η＞)=P(η＞2)=1-Φ(2)=1-0.977 2=0.022 8,

即这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的灯泡的概率为0.022 8.

(2)这100个灯泡中使用时间超过10 800小时的灯泡个数ξ是一个随机变量,且ξ&B(100,0.022 8),

∴Eξ=100×0.022 8=2.28,

即这100个灯泡中使用时间超过10 800小时的灯泡个数的期望为2.28.

点评：在标准正态总体N(0,1)中,相应于x₀的值Φ(x₀)是指总体小于x₀的概率,即Φ(x₀)=P(x＜x₀).对一般正态总体N(μ,σ²),在某一区间内取值的概率,均可依据公式转化成标准正态总体N(0,1)来进行研究.