Question

（理）已知椭圆C：

x2

2

+

y2

4

=1，过椭圆C上一点P（1，

2

）作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交椭圆C于A、B两点，则直线AB的斜率为

 

．

Answer 1

分析：设PB的直线方程为y-

2

=k(x-1)，与椭圆C联立方程组，求出B点坐标；再设PA的直线方程为y-

2

=-k（x-1），与椭圆C联立方程组，求出A点坐标，由此能求出直线AB的斜率．

解答：解：由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，
设PB的斜率为k，（k＞0），
则PB的直线方程为y-

2

=k(x-1)，
由

y- 2 =k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

，
得(2+k2)x2+2k(

2

-k)x+(

2

-k)2-4=0，
设B（x_B，y_B），
则1+xB=

2k(k- 2 )

2+k2

，xB=

2k(k- 2 )

2+k2

-1=

k2-2 2 k-2

2+k2

，
设A（x_A，y_A），
同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

，
则x_A-x_B=

4 2 k

2+k2

，
y_A-y_B=-k（x_A-1）-k（x_B-1）=

8k

2+k2

，
∴AB的斜率k=

yA-yB

xA-xB

=

8k 2+k2

4 2 k 2+k2

=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查直线斜率的求法，涉及到椭圆、直线方程、韦达定理、斜率公式等知识点，是中档题．