Question

(17)已知6sin²α+sinαcosα－2cos²α=0，α∈［,π］，求sin(2α+)的值.

Answer 1

(17) 本小题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.

解法一:由已知得(3sinα+2cosα)(2sinα－cosα)=0

3sinα+2cosα=0或2sinα－cosα=0.

由已知条件可知cosα≠0，所以α≠，即α∈(,π).

于是tanα＜0,∴tanα=－.

sin(2α+)=sin2αcos+cos2αsin

=sinαcosα+(cos²α－sin²α)

=+×

=+×.

将tanα=－代入上式得

sin(2α+)=+×

=－+，即为所求.

解法二:由已知条件可知cosα≠0,则α≠，所以原式可化为6tan²α+tanα－2=0,

即(3tanα+2)(2tanα－1)=0.

又∵α∈(,π),∴tanα＜0.

∴tanα=－.

下同解法一.