Question

已知6sin²α-sinαcosα-cos²α=0，α∈(

π

2

，π)，求sin(2α+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：由已知得3sinα+cosα=0或2sinα-cosα=0．因为α∈(

π

2

，π)，所以cosα≠0，tanα＜0.tanα=-

1

3

．由此能求出sin(2α+

π

6

)的值．

解答：解：由已知得（3sinα+cosα）（2sinα-cosα）=0．
即3sinα+cosα=0或2sinα-cosα=0．…（3分）
因为α∈(

π

2

，π)，所以cosα≠0，tanα＜0．
所以tanα=-

1

3

．…（5分）
sin(2α+

π

6

)=sin2αcos

π

6

+cos2αsin

π

6

=

3

sinαcosα+

1

2

(cos2α-sin2α)
=

3 sinαcosα

cos2α+sin2α

+

1

2

•

cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

3 tanα

1+tan2α

+

1

2

•

1-tan2α

1+tan2α

．
…（9分）
将tanα=-

1

3

代入上式，
得sin(2α+

π

3

)=

3 •(- 1 3 )

1+(- 1 3 )2

+

1

2

•

1-(- 1 3 )2

1+(- 1 3 )2

=

4-3 3

10

．…（12分）

点评：本题考查三角函数恒等式的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意同角三角函数的关系、二倍角公式的灵活运用．