Question

（2012•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，焦距为2

2

，P是椭圆上一动点，△PF₁F₂的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点N，若

NA

=λ1

AM

，

NB

=λ2

BM

，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程，利用焦距为2

2

，求得c的值，根据当点P在短轴的顶点时，P到F₁F₂的距离最大，所以此时△PF₁F₂的面积最大为2，建立方程，从而可得椭圆方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆方程联立，利用

NA

=λ1

AM

，

NB

=λ2

BM

，用A，B的横坐标表示λ₁，λ₂，从而可得结论．

解答：（Ⅰ）解：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
因为焦距为2

2

，所以c=

2

．
当点P在短轴的顶点时，P到F₁F₂的距离最大，所以此时△PF₁F₂的面积最大，
所以S△PF1F2=

1

2

•2c•b=2，所以b=

2

．
因为a²=b²+c²=4，所以a²=4，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．                  …（5分）
（Ⅱ）证明：依题意，直线l的斜率存在，可设为k，则直线l：y=k（x-1）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

x2+2y2-4=0 y=k(x-1)

消y得 （2k²+1）x²-4k²x+2k²-4=0．
显然△＞0，且 x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-4

2k2+1

．
因为直线l交y轴于点N，所以N（0，-k）．
所以

AM

=(1-x1，-y1)，

NA

=(x1，k+y1)，且

NA

=λ1

AM

所以x₁=λ₁（1-x₁），所以λ1=

x1

1-x1

，
同理λ2=

x2

1-x2

．
所以 λ1+λ2=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=

(x1+x2)-2x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=-

8

3

．
即λ₁+λ₂为定值是-

8

3

．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．