Question

从直线y=x上的点P引抛物线y=x²+1的两条切线，切点分别为A、B两点，求弦AB中点的轨迹方程.

Answer 1

解析：设A、B两点的坐标分别为（x₁,y₁）、（x₂,y₂），AB的中点C（x,y）,由y′=2x得k_PA=2x₁,k_PB=2x₂,

∴切线PA的方程为y-y₁=2x₁(x-x₁),

联立方程组

得x=,即点P的横坐标.

同理：PB的方程为y-y₂=2x₂(x-x₂)，用x₂表示的P点的横坐标x_P=,

∴.

∴x₁x₂=-1+x(x₁≠x₂).                                                    ①

又A、B两点在y=x²+1上，即

y₁=x₁²+1,                                                                     ②

y₂=x₂²+1,                                                                     ③

由②+③，得y₁+y₂=(x₁+x₂)²-2x₁x₂+2,

即2y=(2x)²-2(-1+x)+2.

y=2x²-x+2即为P点轨迹方程.