Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（

3

，

1

2

），点P在椭圆C上，F₁，F₂分别为其左、右焦点，∠F₁PF₂的最大值为120°．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（x₀，y₀）（x₀≠0）作圆x²+y²=1的两条切线，分别切于A，B两点，直线AB与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

3 a2 + 1 4b2 =1 a=2b

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设MN：y=kx+g，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）联立

x2 4 +y2=1 y=kx+g

，得（4k²+1）x²+8kgx+4g²-4=0，由此利用椭圆弦长公式能求出△OMN面积的最大值．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点M（

3

，

1

2

），
点P在椭圆C上，F₁，F₂分别为其左、右焦点，∠F₁PF₂的最大值为120°，
∴

3 a2 + 1 4b2 =1 a=2b

，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设MN：y=kx+g，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
联立

x2 4 +y2=1 y=kx+g

，得（4k²+1）x²+8kgx+4g²-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则x1+x2=-

8kg

4k2+1

，x1x2=

4g2-4

4k2+1

，
△=（8kg）²-4（4g²-4）（4k²+1）＞0≥4k²+1＞g²
∵|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|
 MN到原点距离d=|g|

1+k2

，
g²=（

1

y0

）²，（y₀）²=

1

g2

，
k²=（-

x0

y0

）²=（x₀）²g²，（x₀）²=（

k

g

）²，
∴（

k

g

）²+

4

g2

=4，∴k²+4=4g²
S_△OMN=

1

2

d|MN|=

1

2

|g||x₁-x₂|
∴S△OMN2=

1

4

g2[（-

8kg

4k2

+1）²-

4(4g2-4)

4k2+1

]，
∵令

1

4k2+1

=t，0＜t＜1
∴（1+3t）（1-t）≤

3

4

，
当且仅当t=

1

3

，即

1

1+4k2

=

1

3

，即k²=

1

2

时等号成立，
∴S_△OMN≤

3

2

×

4 3

=1．
∴△OMN面积的最大值为1．

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．