Question

【题目】证明：方程6－3x＝2x在区间[1,2]内只有一个实数解，并求出这个实数解．(精确到0.1)

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】试题分析：证明方程6﹣3x=2x在区间[1，2]内有唯一一个实数解，只需证明函数在[1，2]内为单调函数，根据增加增味增这个结论，可以判断函数为增函数，再结合根的存在性定理，二分法求解即可。．

　设函数f(x)＝2x＋3x－6.∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，

又函数f(x)＝2x＋3x－6在R上是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一的实数解．取区间[1,2]的中点x1＝1.5，

f(1.5)≈1.33>0，f(1)＝－1<0，∴函数f(x)＝2x＋3x－6的零点在区间[1，1.5]内；

取区间[1,1.5]的中点x2＝1.25，

f(1.25)≈0.128>0，

∴函数f(x)＝2x＋3x－6的零点在区间[1，1.25]内；

取区间[1,1.25]的中点x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，

∴函数f(x)＝2x＋3x－6的零点在区间[1.125,1.25]内；

再取区间[1.125,1.25]的中点x4＝1.187 5，

可得f(1.187 5)≈－0.16<0.

∴函数f(x)＝2x＋3x－6的零点在区间[1.187 5,1.25]内．

∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5 <0.1，

∴方程的近似实数解为1.2.