Question

已知角A是△ABC的内角，向量

m

=(1 ， cos2A)，

n

=(cosA ， 1)，且

m

•

n

=0，f(x)=

3

sin2x+cos2x，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数f(x+

A

2

)的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

m

•

n

=0，求出cosA的值，再由cosA的值确定角A的大小．
（Ⅱ）化简函数f(x+

A

2

)的解析式到 2sin（2x+

π

3

），利用正弦函数的单调增区间，
求出此函数的单调区间，即由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

2

≤2kπ+

π

2

，解出x的范围，即得
函数f(x+

A

2

)的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(1 ， cos2A)，

n

=(cosA ， 1)，且

m

•

n

=0，
∴cosA+cos2A=0?2cos²A+cosA-1=0，（2分）
∴cosA=

1

2

或cosA=-1，（4分）
∵角A是△ABC的内角，∴0＜A＜π，
∴cosA=

1

2

?A=

π

3

（6分）

（Ⅱ）∵f(x)=

3

sin2x+cos2x=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)=2sin(2x+

π

6

)（8分）
∴f(x+

A

2

)=2sin(2x+

π

6

+

π

6

)=2sin(2x+

π

3

)（9分）
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

2

≤2kπ+

π

2

，
得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z（11分）
∴函数f(x+

A

2

)的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]k∈Z（12分）

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，两角和与差的三角函数，正弦函数的单调增区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]．