Question

11．如图，河的两岸，分别有生活小区ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB=3km，BC=4km，DF=$\frac{9}{4}$km，FE=3km，EC=$\frac{3}{2}$km．若以OA，OD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系xoy，则河岸DE可看成是曲线y=$\frac{x+b}{x+a}$（其中a，b为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线y=kx+m（其中k，m为常数）的一部分．
（1）求a，b，k，m的值；
（2）现准备建一座桥MN，其中M，N分别在DE，AC上，且MN⊥AC，设点M的横坐标为t．
①请写出桥MN的长l关于t的函数关系式l=f（t），并注明定义域；
②当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）先求出D、E、A、C点的坐标，代入函数的解析式，从而求出a，b，k，m的值即可；
（2）①先表示出M点的坐标，问题转化为求M到直线AC的距离即可；②由基本不等式的性质求出最小值即可．

解答 解：（1）由题意得：OD=BC=4，OB=FC，
∴D（0，$\frac{7}{4}$），E（3，4），A（$\frac{3}{2}$，0），C（$\frac{9}{2}$，4），
把D（0，$\frac{7}{4}$），E（3，4）代入y=$\frac{x+b}{x+a}$
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}=\frac{7}{4}}\\{\frac{3+b}{3+a}=4}\end{array}\right.$，解得：a=-4，b=-7，
把A（$\frac{3}{2}$，0），C（$\frac{9}{2}$，4）代入y=kx+m
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}k+m=0}\\{\frac{9}{2}k+m=4}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{4}{3}$，m=-2；
（2）由（1）得：M点在y=$\frac{x-7}{x-4}$上，
∴M（t，$\frac{t-7}{t-4}$），t∈[0，3]，
①桥MN的长l为MN到直线y=$\frac{4}{3}$x-2的距离，
故l=f（x）=$\frac{|4t-\frac{3（t-7）}{t-4}-6|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=$\frac{1}{5}$|4t+$\frac{9}{t-4}$-9|，t∈[0，3]；
②由①得：f（t）=$\frac{1}{5}$|4t+$\frac{9}{t-4}$-9|=$\frac{1}{5}$|4（t-4）+$\frac{9}{t-4}$+7|，
而t-4＜0，$\frac{9}{t-4}$＜0，
∴4（t-4）+$\frac{9}{t-4}$≤-2$\sqrt{4（t-4）•\frac{9}{t-4}}$=-12，
当且仅当4（t-4）=$\frac{9}{t-4}$时即t=$\frac{5}{2}$“=”成立，
∴f（t）_min=$\frac{1}{5}$|-12+7|=1．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，考查点到直线的距离公式，考查基本不等式的性质，是一道中档题．