Question

（2012•昌图县模拟）设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，l）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+log₂₀₁₃ x₃+…+log₂₀₁₃ x₂₀₁₁+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值为（　　）

A．-log₂₀₁₃2012

B．-1

C．（log₂₀₁₃2012）-l

D．1

Answer 1

分析：先求曲线在点（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x_n，再求相应的函数值．

解答：解：∵y=xⁿ⁺¹，∴y′=（n+1）xⁿ，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，
故y=xⁿ⁺¹在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），令y=0可得x=

n

n+1

，
即该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=

n

n+1

，
所以log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂
=log2013

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2012

2013

=
log2013

1

2013

=-1，
故选B．

点评：本题利用了导数的几何意义，同时利用了对数运算的性质求出函数，属中档题．