Question

(13分) 已知等比数列{a_n}中，a₂＝2，a₅＝128．

(1) 求通项a_n；

(2) 若b_n = log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n = 360，求n的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) a_n＝a₂·q^n—2＝2·4^n—2＝2^{2n—3  ；}(2) n＝20为所求

【解析】本试题主要是考查了数列的概念和数列求和的综合运用。

（1）根据等比数列{a_n}中，首项和公比来表示已知中a₂＝2，a₅＝128．，，得到通项公式。

（2）结合上一问的结论，b_n＝log₂2^2n－3＝2n－3，然后利用等差数列求和得到结论。

解：(1) 设公比为q，由a₂＝2，a₅＝128及a₅＝a₂q³得 128＝2q³，

∴q＝4  ∴a_n＝a₂·q^n—2＝2·4^n—2＝2^2n—3  ····················· 6分

(2) b_n＝log₂2^2n－3＝2n－3 ·························· 8分

∴数列{b_n}是以－1为首项，2为公差的等差数列

∴S_n＝n (－1)＋＝n²－2n ····················· 11分

令n²－2n＝360得 n₁＝20，n₂＝－18（舍）

故n＝20为所求 ······························ 13分