Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，欲证AF∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面平面BCE内一直线平行，而AF∥BP，AF?平面BCE，BP?平面BCE，满足定理条件；
（Ⅱ）欲证平面BCE⊥平面CDE，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCE内一直线与平面CDE垂直，而根据题意可得BP⊥平面CDE，BP?平面BCE，满足定理条件．

解答：证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，
∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（4分）
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE（6分）

（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB
∴DE⊥平面ACD又AF?平面ACD
∴DE⊥AF
又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE（10分）
又BP∥AF∴BP⊥平面CDE
又∵BP?平面BCE
∴平面BCE⊥平面CDE（12分）

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行、面面垂直的判定，考查运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．