Question

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽为8

7

m，要求通行车辆限高4.5m，隧道全长为2.5km，隧道的拱线可近似的看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使隧道的土方工程量最小？
（注：①半个椭圆的面积公式为S=

π

4

lh；②隧道的土方工程量=截面面积×隧道长）．

Answer 1

分析：（1）根据题意，建立坐标系，可得P的坐标并设出椭圆的方程，将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，求得a的值，依题意，可得l=2a，计算可得答案；
（2）根据题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），将P代入方程，结合基本不等式，即可得答案．

解答：解：（1）以车道中点为原点，建立直角坐标系，
则P（4

7

，4.5），
设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
则

b=6 (4 7 )2 a2 + 4.52 b2 =1

，解之得：

a=16 b=6

此时l=2a=32．
（2）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
将P代入方程可得

(4 7 )2

a2

+

4.52

b2

=1，从而1=

(4 7 )2

a2

+

4.52

b2

≥

2×4 7 ×4.5

ab

，
故ab≥36

7

，所以S=

π

4

lh=

π

2

ab≥18

7

π，当且仅当l=8

14

，h=

9 2

2

＞6时取等号．
答：当拱高为

9

2

2

，拱宽为8

14

时，土方工程量最小．

点评：本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．