Question

如图，B，C两点在双曲线x²-

y2

4

=1的右支上，线段BC的垂直平分线DA交y轴于点A（0，4），若cos∠BAC=-

7

15

，则点A到直线BC的距离d=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定D的坐标，求出BC，AD，利用韦达定理及弦长公式，即可得出结论．

解答： 解：设BC的斜率为k，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），D（x₀，y₀），
∵B，C两点在双曲线x²-

y2

4

=1的右支上，
∴k_OD=

y1+y2

x1+x2

=

4(x1-x2)

y1-y2

=

4

k

，
直线AD的方程为y=-

1

k

x+4，可得D（

4k

5

，

16

5

），
∴AD=

4

5

k2+1

，
令∠BAD=α，∵cos∠BAC=-

7

15

，∴cosα=

2 15

15

，tanα=

11

2

．
∴BC=

4 11

5

k2+1

又y=kx-

4k2

5

+

16

5

代入到双曲线方程可得4x²-（kx-

4k2

5

+

16

5

）²=4
即（4-k²）x²-2k（-

4k2

5

+

16

5

）x-（-

4k2

5

+

16

5

）²-4=0
∴x₁+x₂=

8

5

k，x₁x₂=

-16k4+128k2-356

25(4-k2)

又BC=

4 11

5

k2+1

∴

-16k4+128k2-356

25(4-k2)

=

16k2-44

25

，
∴20k²-180=0，
∴k²=9
∴AD=

4 10

5

．
故答案为：

4 10

5

．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，有难度．