Question

17．已知0≤x≤2求函数$y={（{\frac{1}{4}}）^{x-1}}-4{（{\frac{1}{2}}）^x}+2$的最大值与最小值．

Answer 1

分析 由题意可得 x∈[0，2]，令t=2^x，则 y=4t²-4t+2，其对称轴为t=$\frac{1}{2}$，再利用二次函数的性质求得y的最值

解答 解：设（$\frac{1}{2}$）^x=t，则t∈[$\frac{1}{4}$，1]，
∴y=4t²-4t+2，其对称轴为t=$\frac{1}{2}$，
∴y在[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]上单调递减，在（$\frac{1}{2}$，1]上单调递增，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，y有最小值，最小值为1-2+2=1，
当t=1时，y有最大值，最大值为4-4+2=2．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，指数函数的单调性，体现了转化的书写思想，属于中档题．