Question

4．已知a，b，c，分别为三角形ABC的对边，sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\frac{cosA}{sinA}+$$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$；
（1）求证：0＜B≤$\frac{π}{3}$；
（2）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，求|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$|．

Answer 1

分析 （1）已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后利用正弦定理化简得到关系式，再利用余弦定理列出关系式，将得出的关系式代入并利用基本不等式变形求出cosB的范围，即可确定出B的范围；
（2）由sinB的值，确定出cosB的值，已知等式左边利用平面向量的数量积运算法则计算求出ac的值，进而确定出b的值，利用余弦定理求出a²+c²的值，所求式子平方后，利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算，将各自的值代入计算，开方即可求出值

解答 解：（1）∵$\frac{cosA}{sinA}+$$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$=$\frac{sinCcosA+cosCsinA}{sinAsinC}=\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{4}{\sqrt{7}}$=$\frac{1}{sinB}$，
∴sinAsinC=sin²B，
由正弦定理可得，b²=ac，
∵b²=a²+c²-2accosB≥2ac-2accosB，
∴cosB≥$\frac{1}{2}$，即0＜B≤$\frac{π}{3}$；
（2）∵sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，且b²=ac，
∴B不是最大角，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$=ca×cosB=$\frac{3}{4}$ac，即ac=2，
∴b²=2，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
∴a²+c²=5，
则|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$|²=a²+c²+2$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$=a²+c²+2accosB=5+3=8，
即|$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$|=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．