Question

9．已知$tan（α-β）=\frac{1}{2}，cosα=\frac{3}{10}\sqrt{10}$，其中$α∈（0，\frac{π}{2}），β∈（0，π）$．
（1）求tanβ的值；
（2）求2α-β的值．

Answer 1

分析 （1由条件利用两角和差的正切公式求得tanα的值，再根据$tan（α-β）=\frac{tanα-tanβ}{1+tanα•tanβ}=\frac{1}{2}$，求得tanβ的值．
（2）先利用两角和差的正切公式求得tan（2α-β）的值，再结合2α-β的范围，求得2α-β的值．

解答 解：（1）∵$cosα=\frac{3}{10}\sqrt{10}$，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$tanα=\frac{1}{3}$，
∵$tan（α-β）=\frac{tanα-tanβ}{1+tanα•tanβ}=\frac{1}{2}$，而$tanα=\frac{1}{3}$，
∴解得$tanβ=-\frac{1}{7}$．
（2）$tan（2α-β）=tan（α-β+α）=\frac{tan（α-β）+tanα}{1-tan（α-β）tanα}=1$，
∵$tanβ=-\frac{1}{7}＜0$，β∈（0，π），∴$β∈（\frac{π}{2}，\;π）$，
又∵$tanα=\frac{1}{3}＜1$，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，∴$α∈（0，\frac{π}{4}）$，∴2α-β∈（-π，0），
∴$2α-β=-\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．