Question

1．如图，等边三角形PAB所在的平面与平行四边形ABCD所在的平面垂直，E是线段BC中点，∠ABC=60°，BC=2AB=2．
（Ⅰ）在线段PA上确定一点F，使得EF∥平面PCD，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点M，连FM，CM，推导出四边形EFMC是平行四边形，从而EF∥CM，进而EF∥平面PCD，由此得到在线段PA存在中点F，使得EF∥平面PAB．
（Ⅱ）取AB中点O，连OE并延长交DC延长线于Q，则PO⊥AB，推导出∠BAC=90°，DQ⊥OQ，PO⊥AB，从而PO⊥平面ABCD，进而DQ⊥PQ，再求出DQ⊥PO，得到∠PQO就是二面角P-CD-A的平面角，由此能求出二面角P-CD-A的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）在线段PA存在中点F，使得EF∥平面PAB…（1分）
理由如下：
取PD中点M，连FM，CM．
∵F，M分别是PA，PD的中点，∴$FM∥AD，FM=\frac{1}{2}AD$，
∵平行四边形ABCD中，E是BC的中点，
∴$EC∥AD，EC=\frac{1}{2}AD$，∴EC∥FM，EC=FM，
∴四边形EFMC是平行四边形，∴EF∥CM．…（3分）
又CM?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥平面PCD…（5分）
（Ⅱ）取AB中点O，连OE并延长交DC延长线于Q，则PO⊥AB
在△ABC中，∠ABC=60°，BC=2AB=2．AC²=1²+2²-2×1′×2×cos60°=3，
∴AC²=AB²+BC²，∴∠BAC=90°，
又∵O，E分别是AB，BC的中点，∴OQ∥AC，OG=AC，DQ⊥OQ…（7分）
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
PO⊥AB，PO?平面PAB，∴PO⊥平面ABCD，∴DQ⊥PQ，…（8分）
又DQ⊥OQ，PO∩OQ=O，∴DQ⊥平面POQ，∴DQ⊥PO…（9分）
∴∠PQO就是二面角P-CD-A的平面角…（10分）
在等边△PAB中，$PO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
在Rt△PQO中，$PO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$OQ=AC=\sqrt{3}$，
∴$PQ=\sqrt{O{P^2}+O{Q^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，$cos∠PQO=\frac{OQ}{PQ}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的判断，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．