Question

10．如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD为菱形，A点E为AD的中点，若BE=PE．
（1）求证：PB⊥BC；
（2）若∠PEB=120°，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出∠EAB=60°，且AD⊥BE，AD⊥PE，从而AD⊥平面PBE，进而AD⊥PB，由此能证明PB⊥BC．
（2）过P作PO⊥平面ABCD，交BE延长线于O，以O为坐标原点，过O作DA的平行线为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角二面角A-PB-C的余弦值．

解答 证明：（1）由BE=PE，AB=PA，AE=AE，得△AEP≌△AEB，
∴∠EAB=60°，且AD⊥BE，
又∵AD⊥PE，
∴AD⊥平面PBE，
∵PB?平面PBE，得AD⊥PB，
又AD∥BC，
∴PB⊥BC．
解：（2）如图，过P作PO⊥平面ABCD，交BE延长线于O，
以O为坐标原点，过O作DA的平行线为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，$\frac{3}{2}$），B（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0），PB的中占点G（0，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3}{4}$），连结AG，
又A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C（-2，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，0），由此得到$\overrightarrow{GA}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$），
$\overrightarrow{PB}$=（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}，-\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），
∴$\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{PB}$=0，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{PB}$=0，
∴$\overrightarrow{GA}⊥\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{BC}⊥\overrightarrow{PB}$，
∵$\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{BC}$的夹角为θ等于所求二面角二面角A-PB-C的平面角，
∴cos$θ=cos＜\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{PB}＞$=$\frac{\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{GA}|•|\overrightarrow{BC}|}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角A-PB-C的余弦值为-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．