Question

8．（1）求函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x≥2）的最小值，以及此时x的值；
（2）求函数y=$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x+1}$（x≥1）的最值．以及此时x的值．

Answer 1

分析 利用换元，结合函数的单调性，即可求出函数的最值．以及此时x的值．

解答 解：（1）∵f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∵x≥2，
∴f′（x）＞0，
∴x≥2时，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$单调递增，
∴函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x≥2）的最小值是$\frac{5}{2}$，此时x=2；
（2）设x+1=t（t≥2），则
函数y=$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x+1}$=t+$\frac{3}{t}$，在[2，+∞）上单调递增，
∴t=2，即x=1时函数的最小值为4．

点评 本题考查求函数的最值．以及此时x的值，考查函数的单调性，正确确定函数的单调性是关键．