Question

已知函数f（x）=（x²-

2

a

x+

1

a

）e^ax（a＞0）
（1）求曲线f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）是否存在实数a∈（1，2），使f（x）＞

2

a2

当x∈（0，1）时恒成立？若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在A点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（3）先将原来的恒成立问题转化为研究f（x）在区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值．

解答：解（1）∵a＞0，f（x）=（x²-

2

a

x+

1

a

）e^ax，
∴f′（x）=（2x-

2

a

）e^ax+（x²-

2

a

x+

1

a

）•a•e^ax=（2x-

2

a

+ax²-2x+1）e^ax=（ax²+

a-2

a

）e^ax，（2分）
于是f（0）=

1

a

，f′（0）=

a-2

a

，所以曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为y-

1

a

=

a-2

a

（x-0），
即（a-2）x-ay+1=0．（4分）
（2）∵a＞0，e^ax＞0，∴只需讨论ax²+

a-2

a

的符号．（5分）
ⅰ）当a＞2时，ax²+

a-2

a

＞0，这时f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
ⅱ）当a=2时，f′（x）=2x²e^2x≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．（6分）
ⅲ）当0＜a＜2时，令f′（x）=0，解得x₁=-

2-a

a

，x₂=

2-a

a

．
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（-∞，-

2-a

a

），（

2-a

a

，+∞）为增函数，f（x）在（-

2-a

a

，

2-a

a

）为减函数．（9分）
（3）当a∈（1，2）时，

2-a

a

∈（0，1）．由（2）知f（x）在（0，

2-a

a

）上是减函数，在（

2-a

a

，1）上是增函数，故当x∈（0，1）时，f（x）_min=f（

2-a

a

）=

2

a2

（1-

2-a

）e

2-a

，所以f（x）＞

2

a2

当x∈（0，1）时恒成立，等价于（1-

2-a

）e

2-a

＞1恒成立．当a∈（1，2）时，

2-a

∈（0，1），设g（t）=（1-t）e^t，t∈（0，1），则g′（t）=e^t-e^t-te^t＜0，表明g（t）在（0，1）上单调递减，于是可得g（t）∈（0，1），即a∈（1，2）时（1-

2-a

）e

2-a

＜1恒成立，因此，符合条件的实数a不存在．（14分）

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，解答的关键是会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．