Question

2．设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=-1，$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}}$=S_n．则数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知推导出{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为-1，公差为-1的等差数列，从而求出S_n=-$\frac{1}{n}$，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：S_n是数列{a_n}的前n项和，且a₁=-1，$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}}$=S_n，
∴S_n+1-S_n=S_n+1S_n，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，$\frac{1}{{S}_{1}}$=-1，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为-1，公差为-1的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1+（n-1）×（-1）=-n．
∴S_n=-$\frac{1}{n}$，
n=1时，a₁=S₁=-1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$=$\frac{1}{n（n-1）}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．