Question

已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，且

An

Bn

=

7n+45

n+3

，则使得

an

bn

为正偶数时，n的值可以是（　　）

A．1

B．2

C．5

D．3或11

Answer 1

分析：根据等差数列的性质、等差中项的综合应用，化简

an

bn

=7+

12

n+1

，要使得

an

bn

为正偶数，需 7+

12

n+1

为正偶数，需

12

n+1

为正奇数，由此求得正整数n的值．

解答：解：由等差数列的前n项和公式可得

an

bn

=

1 2 (a1+a2n-1)

1 2 (b1+b2n-1)

=

1 2 (2n-1)(a1+a2n-1)

1 2 (2n-1)(b1+b2n-1)

=

A2n-1

B2n-1

=

7(2n-1)+45

(2n-1)+3

=

14n+38

2n+2

=

7n+19

n+1

=7+

12

n+1

（n∈N^*）．
要使得

an

bn

为正偶数，需 7+

12

n+1

 为正偶数，需

12

n+1

为正奇数，故n=3，或11，
故选D．

点评：本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用．
已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，则有如下关系

an

bn

=

A2n-1

B2n-1

．