Question

关于x、y的方程x²+xy+2y²=29的整数解（x、y）的组数为（　　）

A．2组

B．3组

C．4组

D．无穷多组

Answer 1

分析：根据原方程的形式，将其看成是关于x的方程，则字母y变成方程的参数系数，利用一元二次方程根的判别式得△=y²-4（2y²-29）=-7y²+116≥0，再根据方程有整数解，说明这个根的判断式应该是平方数，由此可能得到的y²的取值为0、1、4、9或16，再经过讨论，可以得到符合题目的四组整数解．

解答：解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x²+yx+（2y²-29）=0
由于该方程有整数根，根据判别式△≥0，且是完全平方数
由△=y²-4（2y²-29）=-7y²+116≥0解得y²≤

116

7

≈16.57

y2	0	1	4	9	16
△	116	109	88	53	4

显然只有y²=16时，△=4是完全平方数，符合要求
当y=4时，原方程为x²+4x+3=0，此时x₁=-1，x₂=-3
当y=-4时，原方程为x²-4x+3=0，此时x₃=1，x₄=3
所以，原方程的整数解为

x 1=-1 y1=4

，

x 2=-3 y2=4

，

x 3=1 y3=-4

，

x 4=3 y4=-4

．
故选C

点评：本题考查了二元二次方程组的整数解问题，属于难题．分清题中的主元与次元，巧妙地利用关于x的一元二次方程，用根的判别式解题，是本题的关键所在．