Question

已知关于x，y的方程x²+y²-2x-4y+m=0
（Ⅰ）当m为何值时，此方程表示圆；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若从点P（3，1）射出的光线，经x轴于点Q（

3

5

，0）处反射后，与圆相切，求圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）方程C可化为：（x-1）²+（y-2）²=5-m，方程表示圆，应有5-m＞0，从而可求m的值．
（Ⅱ）求出P关于x轴的对称点P′，由对称知直线P′Q与圆相切，从而利用点到直线的距离公式及圆心到直线的距离等于半径，可求圆的半径，从而得圆的方程．

解答：解：（Ⅰ）配方得：（x-1）²+（y-2）²=5-m，…（3分）
当5-m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．…（5分）
（Ⅱ）P关于x轴的对称点为P′（3，-1），由对称性知直线P′Q与圆相切．…（6分）
∵点Q（

3

5

，0），∴直线P′Q的方程为

y-0

-1-0

=

x- 3 5

3- 3 5

，即5x+12y-3=0，…（7分）
圆心C（1，2）到直线P′Q距离为d=

|5+24-3|

52+122

=2                  …（10分）
∵直线P′Q与圆相切，∴d=r
∴2=

5-m

，解得m=1                …（12分）
所以圆的方程为：（x-1）²+（y-2）²=4                                       …（13分）

点评：本题以圆的一般方程为载体，考查圆的标准方程，考查直线与圆相切，关键是利用圆心到直线的距离等于半径．