Question

已知关于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=

4

5

，求m的值．
（3）在（2）条件下，是否存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为

1

5

，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）将方程C：x²+y²-2x-4y+m=0变形为（x-1）²+（y-2）²=5-m因此方程C表示圆?5-m＞0．
（2）由（1）可得利用圆心C（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离d，半径  r=

5-m

，以及弦长的一半

|MN|

2

满足勾股定理 r2=d2+(

1

2

MN)2即可求出m的值．
（3）在（2）条件下m=4可假设存在这样的直线使得圆上有四点到直线l的距离为

1

5

故圆心C（1，2）到直线l：x-2y+c=0的距离d＜1-

1

5

求出m的范围即可．

解答：解：（1）方程C可化为  （x-1）²+（y-2）²=5-m
显然  5-m＞0时，即m＜5时方程C表示圆．
（2）圆的方程化为  （x-1）²+（y-2）²=5-m
圆心 C（1，2），半径为r=

5-m

则圆心C（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离为d=

|1+2×2-4|

12+22

=

1

5

∵MN=

4

5

，则

1

2

MN=

2

5

，有 r2=d2+(

1

2

MN)2
∴5-m=(

1

5

)2+(

2

5

)2，
得  m=4
（3）设存在这样的直线
圆心 C（1，2），半径r=1
则圆心C（1，2）到直线l：x-2y+c=0的距离为d=

|1-2×2+c|

12+22

=

|c-3|

5

＜|1-

1

5

|
解得4-

5

＜c＜2+

5

点评：本题主要考察了直线与圆的综合，属常考题型，较难．解题的关键是熟记x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圆的等价条件D²+E²-4F＞0以及弦长的一半，半径，圆心到直线的距离所满足的关系式 r2=d2+(

1

2

MN)2！