Question

已知关于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且MN=

4

5

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）方程C可化为：（x-1）²+（y-2）²=5-m，应有5-m＞0．
（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．

解答：解：（1）方程C可化为：（x-1）²+（y-2）²=5-m，显然，当5-m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．
（2）圆的方程化为（x-1）²+（y-2）²=5-m，圆心C（1，2），半径r=

5-m

，
则圆心C（1，2）到直线l：x+2y-4=0 的距离为 d=

|1+2×2-4|

12+22

=

1

5

，
∵MN=

4

5

，则

1

2

MN=

2

5

，有  r2=d2+(

1

2

MN)2，
∴5-m=(

1

5

)2+(

2

5

)2，解得 m=4．

点评：本题考查圆的标准方程的特征，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．