Question

（2006•奉贤区一模）如图P分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁上的点，PB与面ABCD所成的线面角是arctg

2

6

求异面PB与AD₁线所成的角．

Answer 1

分析：先分别以

DA

，

DC

，

DD1

为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，借助于PB与面ABCD所成的线面角是arctg

2

6

，表示出
B（a，a，0），，D₁（0，0，a）　 A（a，0，0），进而可得

BP

={-a，-a，

1

3

a}，

AD1

={-a，0，a }，从而可求异面直线所成的角．

解答：解：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥面ABCD，∠PBD是PB与面ABCD所成的　　　　　　　　　　　　　（2分）
设正方形边长为a，DP=z，则是tan∠PBD=

z

2 a

=

2

6

∴z=

1

3

a（4分）
分别以

DA

，

DC

，

DD1

为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系 （5分）
则B（a，a，0），，D₁（0，0，a）　 A（a，0，0）
∴P（0，0，

1

3

a）    （6分）

BP

={-a，-a，

1

3

a}，

AD1

={-a，0，a }，（8分）
设

BA

与

BP

的夹角为θ，cosθ=

BA • AD1

| BP |•| AD1 |

=

4a 3 2

19 9 a2 × 2 a

=

4

38

=

2 38

19

所求的异面直线所成的角为 arccos

2 38

19

（12分）

点评：本小题的考点是异面直线所成的角，主要考查异面直线所成的角，线面角，考查利用空间向量解决空间角的问题，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．