Question

已知函数f（x）=+2x，g（x）=lnx．
（1）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a＞0，使得方程=f（x）-（2a+1）在区间（，e）内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则[1，+∞）为函数f（x）的减区间的子集，分a=0，a＞0，a＜0三种情况讨论即可；
（2））把方程=f′（x）-（2a+1）整理为，即方程ax²+（1-2a）x-lnx=0，设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（，e）内有且只有两个零点．利用导数判断出函数H（x）的单调性、最小值，求出区间端点处的函数值，借助图象可得不等式组，解出即可；
解答：解：（1）①当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
②当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-，y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，不符合题意；
③当a＜0时，函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，则-≤1，解得a≤-2，
综上，a的取值范围是a≤-2；
（2）把方程=f′（x）-（2a+1）整理为，即方程ax²+（1-2a）x-lnx=0，
设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），则原问题等价于函数H（x）在区间（，e）内有且只有两个零点．
H′（x）=2ax+（1-2a）-==，令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-（舍），
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（，e）内有且只有两个不相等的零点，只需，即，
所以，解得1＜a＜．
所以a的取值范围是（1，）．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、方程根的个数问题，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，考查学生对问题的分析解决能力，能力要求较高．