Question

设函数f（x）=

2- x+3 x+1

的定义域为A，不等式（x-a-1）（2a-1）＞0（a∈R）的解集为B．
（1）求A；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由根式内部的代数式大于等于0，求解分数不等式的解集得到集合A；
（2）对a进行分类求解二次不等式化简集合B，然后利用B⊆A，借助于端点值的关系列不等式求解a的范围．

解答：解：（1）由2-

x+3

x+1

≥0，得

x-1

x+1

≥0．
∴x＜-1或x≥1．
即A=（-∞，-1）∪[1，+∞）；
（2）由（x-a-1）（2a-x）＞0，得（x-a-1）（x-2a）＜0．
①当a=1时，不等式化为（x-2）²＜0，此不等式解集为∅，即B=∅．
满足B⊆A；
②当a＜1时，a+1＞2a，∴B=（2a，a+1）．
∵B⊆A，∴a+1≤-1或2a≥1，∴a≤-2或a≥

1

2

．
又a＜1，∴

1

2

≤a＜1或a≤-2；
③当a＞1时，a+1＜2a，∴B=（a+1，2a）．
∵B⊆A，∴2a≤-1或a+1≥1．∴a≤-

1

2

或a≥0．
又a＞1，∴a＞1．
综上所述，a的取值范围是(-∞，-2]∪[

1

2

，+∞)．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了集合关系中的含有参数的取值问题，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是对端点值的取舍，是中档题．