Question

已知抛物线的方程为y²=4x，O为坐标原点
（Ⅰ）点A，B是抛物线上的两点，且P（3，2）为线段AB的中点，求直线AB的方程
（Ⅱ）过点（2，0）的直线l交抛物线于点M，N，若△OMN的面积为6，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由中点公式可得y₁+y₂=4，将A，B两点坐标代入抛物线方程，利用点差法，可得直线AB的斜率k=1，进而可得直线AB的方程
（Ⅱ）过点（2，0）的直线l的方程可设为x=my+2，联立抛物线方程后，可由韦达定理得∴|y₁-y₂|=

16m2+32

，结合△OMN的面积为6，构造关于m的方程，解方程求出m的值，进而可得直线l的方程．

解答：解：（I）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∵P（3，2）为线段AB的中点，
∴x₁+x₂=6，y₁+y₂=4，
由

y12=4x1 y22=4x2

，
两式相减得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
即直线AB的斜率k=1
∴直线AB的方程为x-y-1=0
（II）∵直线l过点（2，0），故可设直线l的方程为x=my+2，
由

x=my+2 y2=4x

得y²-4my-8=0
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8
∴|y₁-y₂|=

16m2+32

∴△OMN的面积S=

1

2

|OM||y₁-y₂|=

1

2

×2×

16m2+32

=6
即m²=

1

4

，解得m=±

1

2

∴直线l的方程为2x-y-4=0或2x+y-4=0

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥贝母的关系，熟练掌握点差法，联立方程，设而不求，韦达定理，弦长公式等方法是解答的关键．