Question

如图，已知向量

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，可构成空间向量的一个基底，若

a

=（a₁，a₁，a₃），

b

=（b₁，b₂，b₃），

c

=（c₁，c₂，c₃），在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算a×b=（a₂b₃-b₂a₃，a₃b₁-a₁b₃，a₁b₂-a₂b₁），显然

a

×

b

的结果仍为一个向量，记作p．
（1）求证：向量

p

为平面OAB的法向量；
（2）求证：以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积等于|

a

×

b

|；
（3）将四边形OADB按向量c平移，得到一个平行六面体OADB-CA₁D₁B₁，是判断平行六面体的体积V与（

a

×

b

）•

c

的大小．

Answer 1

考点：空间向量的数量积运算

专题：空间向量及应用

分析：（1）由题意，得

p

⊥

a

，

p

⊥

b

，由此能证明

p

为平面OAB的法向量．
（2）设

a

，

b

夹角为θ，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃，S_OABD²=（|

a

||

b

|sinθ）²，由此能证明S_OABD=|

a

×

b

|．
（3）（

a

×

b

）•

c

=

OC

向量在面OAB法向量上的投影×|

p

|，

p

=

a

×

b

的几何意义是|

p

|=|

a

|•|

b

|•sin＜

a

，

b

＞，由此能求出V=|（

a

×

b

）•

c

|．

解答： （1）证明：由题意，得

p

•

a

=（a₁a₂b₃-a₁a₃b₂，a₂a₃b₁-a₁a₂b₃，a₁b₂a₃-a₂b₁b₃），
因为（a₁a₂b₃-a₁a₃b₂）+（a₂a₃b₁-a₁a₂b₃）+（a₁b₂a₃-a₂b₁b₃）=0，
所以

p

⊥

a

，
同理得

p

⊥

b

，
因为

a

⊥

b

，且

a

，

b

?平面OAB，
所以

p

为平面OAB的法向量．
（2）证明：设

a

，

b

夹角为θ，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃，
S_OABD²=（|

a

||

b

|sinθ）²
=|

a

|²|

b

|²（1-cos²θ）
=|

a

|²|

b

|²-|

a

|²|

b

|²cos²θ
=（

a

×

b

）²
所以S_OABD=|

a

×

b

|．
（3）（

a

×

b

）•

c

=

OC

向量在面OAB法向量上的投影×|

p

|，

p

=

a

×

b

的几何意义是|

p

|=|

a

|•|

b

|•sin＜

a

，

b

＞，
∴|

p

|是底面积，
∴V=|

p

|•

OC

在法向量上投影
=|（

a

×

b

）•

c

|．

点评：本题考查向量

p

为平面OAB的法向量的证明，考查以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积等于|

a

×

b

|的证明，考查平行六面体的体积V与（

a

×

b

）•

c

的大小的判断，解题时要注意向量的数量积的合理运用．