Question

【题目】直线y=ax+1与双曲线3x2﹣y2=1相交于A、B两点．
（1）求AB的长；
（2）当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ∴

∵相交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）

∴△=（2a）2﹣4（a2﹣3）2＞0，

∴ 且

∴ ，（*）

∴ （ 且 ）

（2）解：由（1）中（*）式得： ，

∵以AB为直径的圆经过坐标原点

∴ =0，∴x1x2+y1y2=0

∴x1x2+（ax1+1）（ax2+1）=0 即（1+a2）x1x2+a（x1+x2）+1=0

∴

∴a=±1．

【解析】（1）将直线与双曲线相交于两点转化为一元二次方程有两个根，从而求得a的取值范围，并利用求根公式将两点的横坐标用a表示出来，进而求得线段AB的长；（2）将几何问题转化为向量问题，向量问题再转化为代数式问题，进而根据根与系数的关系求得实数a的值.