Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n+1a_n=（n+1）²（n+2）²，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 a₁=4，a_n+1a_n=（n+1）²（n+2）²，可得a₂=9，a₃=16，…，猜想a_n=（n+1）²．利用数学归纳法证明即可．

解答 解：∵a₁=4，a_n+1a_n=（n+1）²（n+2）²，
∴a₂=9，a₃=16，…，猜想a_n=（n+1）²．
下面利用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a₁=4=（1+1）²，成立；
（2）假设当n=k∈N^*时成立，即${a}_{k}=（k+1）^{2}$，
又a_k+1a_k=（k+1）²（k+2）²，
∴a_k+1=（k+2）²=（k+1+1）²，
即当n=k+1时也成立，
综上可得：对于?n∈N^*，a_n=（n+1）²成立．

点评 本题考查了数学归纳法的应用、数列的通项公式、递推关系，考查了猜想能力、推理能力与计算能力，属于中档题．