Question

如果函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在［-1，1］上的最大值为14，求a的值．

Answer 1

解析：令a^x=t，则y=t²+2t-1，这是t的二次函数，再x∈［-1，1］，求出t的范围，求出这个二次函数有最大值；令其等于14得a的方程，求解之.

解：令a^x=t，则y=t²+2t-1=（t+1）²-2，其对称轴t=-1，二次函数在［-1，+∞）上单调递增，又a^x=t，且x∈［-1，1］，∴t=a^x∈［a^-1，a］（a＞1）或t∈［a，a^-1］(0＜a＜1).

当a＞1时，取t=a，即x=1时，y_max=a²+2a-1=14，解得a=3或a=-5（舍去）；当0＜a＜1时，取t=a^-1，即x=-1时，y_max=a^-2+2a^-1-1=14，解得a=或a=-（舍去）.综之，a=3或a=.