Question

设工厂A到铁路线的垂直距离为20km，垂足为B． 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C，现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转站，再由车站D向工厂修一条公路． 如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3：5，那么D应选在何处，才能使原料供应站C运货到工厂所需运费最省？

Answer 1

分析：设出BD之间的距离，求得运费关于路程的函数，利用导数，即可求得结论．

解答：解：设BD之间的距离为xkm，从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需运费为y，则|AD|=

x2+400

，|CD|=100-x
如果公路运费为a元/km，那么铁路运费为

3

5

a元/km． 
故y=

3

5

a|CD|+a|AD|=

3

5

a（100-x）+a

x2+400

（0≤x≤100）
∴y′=-

3

5

a+

ax

x2+400

，令y′=0，解得x=15，x=-15（舍去）．
且x=15是函数在定义域内唯一的极值点，所以x=15是函数最小值点．
由此可知，车站D建于B，C之间且与B相距15km处时，运费最省．

点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数，极值就是最值，属于中档题．