Question

（2011•江苏二模）已知方程（

1

2

）^x=x

1

3

的解x∈（

1

n+1

，

1

n

），则正整数n=

2

．

Answer 1

分析：先将方程的根的问题转化为函数的零点问题，再判断函数的单调性确定若存在零点，则只有一个，最后利用零点存在性定理，证明零点所在的范围，对照已知求得n值

解答：解：方程（

1

2

）^x=x

1

3

的解即函数f（x）=（

1

2

）^x-x

1

3

的零点
∵y=（

1

2

）^x为定义域上的减函数，y=-x

1

3

为定义域上的减函数
∴函数f（x）为定义域R上的单调减函数
又∵f（

1

3

）=(

1

2

)

1

3

-(

1

3

)

1

3

＞0，（考虑幂函数y=x

1

3

为R上的增函数）
f（

1

2

）=(

1

2

)

1

2

-(

1

2

)

1

3

＜0，（考虑指数函数y=（

1

2

）^x为R上的减函数）
即f（

1

3

）×f（

1

2

）＜0
∴函数f（x）=（

1

2

）^x-x

1

3

在区间（

1

3

，

1

2

）上有且只有一个零点
∴

1

n

=

1

2

，即n=2
故答案为 n=2

点评：本题考查了方程的根与函数零点间的关系，零点存在性定理，二分法求函数的零点的范围，指数函数与幂函数的单调性